ตัวเลขมีอยู่จริงหรือไม่? ปรัชญา ประวัติศาสตร์ และโครงสร้างเชิงรูปแบบ

การเริ่มต้น » วัฒนธรรม » ตัวเลขมีอยู่จริงหรือไม่? ปรัชญา ประวัติศาสตร์ และโครงสร้างเชิงรูปแบบ

เมื่อเราใช้ตัวเลขเพื่อบอกเวลา จ่ายเงินที่ซูเปอร์มาร์เก็ต หรือตรวจสอบยอดเงินในบัญชีธนาคาร เรามักมองข้ามความสำคัญของมันไป ราวกับว่ามันเป็นสิ่งที่มีอยู่จริงเหมือนกับกุญแจบ้านของเรา แต่ถ้าเราลองคิดให้รอบคอบแล้ว เรื่องราวก็จะซับซ้อนกว่านั้น: ตัวเลขนั้น "มีอยู่จริง" ในความหมายใดกันแน่?สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งที่เราค้นพบโดยบังเอิญ เช่นเดียวกับดาวเคราะห์ หรือเป็นสิ่งที่เราสร้างขึ้นมาเอง เช่นเดียวกับตัวละครในนวนิยาย?

การถกเถียงนี้ผสมผสานปรัชญา ประวัติศาสตร์ และคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันอย่างน่าสนใจ ตลอดหลายศตวรรษที่ผ่านมา มีการเสนอคำตอบต่างๆ มากมาย ตั้งแต่ผู้ที่เชื่อว่าตัวเลขเป็นส่วนหนึ่งของ "โลกนามธรรม" ที่เป็นอิสระจากเรา ไปจนถึงผู้ที่ยืนยันว่าตัวเลขเป็นเพียงสิ่งที่ไม่เป็นรูปธรรมเท่านั้น เครื่องมือเชิงสัญลักษณ์ที่เราสร้างขึ้น เพื่อการนับ การวัด และการให้เหตุผล ในระหว่างทางนั้น แนวคิดต่างๆ เช่น สัจพจน์ของพีอาโน ทฤษฎีเซต การสร้างจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ และจำนวนจริงอย่างเป็นทางการ รวมถึงข้อจำกัดที่มีชื่อเสียงซึ่งค้นพบโดยเกอเดล ก็ปรากฏขึ้น

การที่ตัวเลข "มีอยู่" หมายความว่าอย่างไร?

ก่อนที่เราจะเจาะลึกไปถึงสูตรและสัจพจน์ต่างๆ เราควรทำความเข้าใจให้ชัดเจนก่อนว่า "การมีอยู่" นั้นหมายถึงอะไร การมีอยู่ของโต๊ะไม่เหมือนกับการมีอยู่ของเชอร์ล็อก โฮล์มส์ หรือการมีอยู่ของ... ตัวเลขเช่น 24โต๊ะเป็นวัตถุที่จับต้องได้ โฮล์มส์เป็นตัวละครสมมติแต่มีลักษณะเฉพาะที่ชัดเจน ในทางกลับกัน เลข 24 นั้นไม่กินพื้นที่ ไม่มีน้ำหนัก และไม่สามารถเก็บไว้ในลิ้นชักได้

แนวทางหนึ่งในการแก้ปัญหา ซึ่งมาจากแนวคิดของเพลโต คือการกล่าวว่าตัวเลขนั้น สิ่งที่เป็นนามธรรมซึ่งดำรงอยู่ในมิติที่ไม่ใช่ทางกายภาพตัวเลขเหล่านี้ไม่ได้ประกอบขึ้นจากสสาร แต่มีความ "เป็นจริง" เช่นเดียวกับความยุติธรรมหรือความงามในปรัชญาของเพลโต จากมุมมองนี้ นักคณิตศาสตร์ไม่ได้ประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมา แต่ค้นพบตัวเลขเหล่านั้นต่างหาก เช่น ตัวเลข 24 นั้น "มีอยู่" อยู่แล้ว แม้ว่าจะไม่มีใครคิดถึงมันมาก่อนก็ตาม

นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ โต้แย้งในสิ่งที่แตกต่างออกไป: ตัวเลขน่าจะ... สัญลักษณ์และโครงสร้างเชิงแนวคิดที่เราพัฒนาขึ้น เพื่อจำลองโลก สิ่งเหล่านี้จะไม่ปรากฏอยู่นอกเหนือทฤษฎีและข้อตกลงของเรา แม้ว่าเมื่อกำหนดกฎเหล่านั้นแล้ว ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ก็จะมีความเข้มงวดตามที่เราต้องการก็ตาม ในแนวทางนี้ 24 คือผลลัพธ์ของระบบสัญลักษณ์และการดำเนินการที่เราตกลงกันไว้ ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของจักรวาลทางคณิตศาสตร์ที่เป็นอิสระ

นอกจากนี้ยังมีข้อเสนอเชิงกลางที่น่าสนใจอีกด้วย: นักเขียนบางคนโต้แย้งว่าตัวเลขเป็นประเภทหนึ่งของ วัตถุเชิงนามธรรมที่มีคุณสมบัติพิเศษคือ "ถ้ามันสามารถมีอยู่ได้ มันก็จะมีอยู่จริง"กล่าวอีกนัยหนึ่ง แนวคิดนั้นเพียงแค่มีความเป็นไปได้และมีความชัดเจน ก็เพียงพอแล้วที่จะมีอยู่จริงในเชิงตรรกะหรือทางคณิตศาสตร์ วิธีการพูดแบบนี้ทำให้เราสามารถรวมเอาสิ่งต่างๆ เข้าไปได้ไม่เพียงแค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเซต พื้นที่ ฟังก์ชัน รูปทรงเรขาคณิต และสิ่งอื่นๆ อีกมากมายที่เราใช้ในคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวันด้วย

ไม่ว่าจะมองจากมุมมองใด ปัญหาพื้นฐานก็คล้ายคลึงกัน: การมีอยู่ของตัวเลขแตกต่างจากการมีอยู่ของตัวละครสมมติอย่างไร?ทุกคนรู้ว่าเลข 5 คืออะไร และทุกคนรู้จักเชอร์ล็อก โฮล์มส์ แต่เราไม่ได้มองพวกเขาด้วยมุมมองความเป็นจริงแบบเดียวกัน การถกเถียงเรื่องนี้แทนที่จะหาข้อสรุป มักจะก่อให้เกิดคำถามมากกว่าคำตอบเสียอีก

ตัวเลข สัญลักษณ์ และความหมาย: "2" คืออะไรกันแน่?

หากเราละทิ้งสิ่งที่เราคิดว่าเป็นเรื่องปกติและมองตัวเลขอย่างเป็นกลาง สิ่งแรกที่เราจะเห็นคือ สัญลักษณ์ที่เขียนหรือเสียงเมื่อออกเสียงเลข "2" ที่เราเขียนลงบนกระดาษ เลข "สอง" ที่เราพูดออกมา หรืออักษรโรมัน "II" นั้น ไม่ใช่ตัวเลขที่แท้จริง แต่เป็นเพียงตัวแทนของตัวเลขนั้น

สัญลักษณ์นั้น โดยตัวมันเองแล้วเป็นเพียงเส้นขีดหรือเสียงที่ไม่มีความหมาย สิ่งที่ทำให้มันมีความหมายคือข้อตกลงร่วมกันของส่วนรวม: เราตัดสินใจว่าเส้นขีดนี้แสดงถึงปริมาณ ลำดับ และการวัดเช่นเดียวกับตัวอักษร ซึ่งแต่ละตัวไม่มีความหมายในตัวเอง แต่เมื่อรวมกันแล้วก็จะกลายเป็นคำที่เราเชื่อมโยงกับความคิด สิ่งของ หรือการกระทำต่างๆ

มุมมองเชิงสัญลักษณ์นี้เผยให้เห็นสิ่งสำคัญบางอย่าง: ไม่มีอะไร "มหัศจรรย์" เกี่ยวกับรูปแบบที่เป็นรูปธรรมของตัวเลขเราสามารถใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงได้ และตราบใดที่เราตกลงกันในกฎและความหมายเดียวกัน คณิตศาสตร์ก็ยังคงใช้งานได้ ในความเป็นจริง ตลอดประวัติศาสตร์มีระบบตัวเลขมากมายที่มีสัญลักษณ์และกฎที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง แต่ทั้งหมดก็ใช้ในการนับ การวัด และการคำนวณ

อย่างไรก็ตาม การใช้งานตัวเลขในชีวิตประจำวันนั้นกว้างขวางกว่าการแค่เขียนตัวเลขลงไป: พลังของตัวเลขจะปรากฏชัดเจนเมื่อเราทำงานกับมันการบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลัง... การดำเนินการเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถจำลองปรากฏการณ์จริงได้ ตั้งแต่การแบ่งเค้กไปจนถึงการออกแบบระบบนำทาง GPS หรือการคำนวณปริมาณวัคซีน

เนื่องจากคณิตศาสตร์เป็นรากฐานของเทคโนโลยีสมัยใหม่เกือบทั้งหมด นักคณิตศาสตร์จึงถูกบังคับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตั้งแต่ศตวรรษที่ 19 เป็นต้นมา ให้ต้อง เพื่อกำหนดความหมายของ "ตัวเลข" ในความหมายที่พวกเขาเข้าใจให้ชัดเจนที่สุดการกล่าวเพียงว่า "มันคือสิ่งที่เราใช้ในการนับ" นั้นไม่เพียงพอ จำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่เป็นทางการเพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งและเพื่อให้สามารถสร้างทฤษฎีทั้งหมดได้อย่างมั่นใจ

มีจำนวนอนันต์หรือไม่ หรือว่าเรื่องนี้ก็ยังไม่ชัดเจนเช่นกัน?

หนึ่งในประเด็นที่สร้างความสับสนมากที่สุดเมื่อพูดถึงการมีอยู่ของตัวเลขคือ... ธีมของอินฟินิตี้เรามักพูดว่ามีจำนวนธรรมชาติอยู่มากมายนับไม่ถ้วน เช่น 0, 1, 2, 3… และอื่นๆ แต่ถ้าเรายอมรับเช่นนี้ ก็จะเกิดคำถามที่น่าสนใจบางอย่างขึ้นมา

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราคิดถึง "เซตของตัวเลขทั้งหมด" และต้องการเลือกตัวเลขหนึ่งตัว "แบบสุ่ม" ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5 คือเท่าไร? โดยสัญชาตญาณ เราอาจจะตอบว่าประมาณนี้ 1 หารด้วยอนันต์ ซึ่งดูเหมือนจะเป็นศูนย์และหากความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ บางคนอาจคิดว่าเลข 5 "ไม่ปรากฏ" ในชุดนั้น ซึ่งฟังดูไร้สาระ เพราะเลข 5 ปรากฏอยู่จริง ๆ

การให้เหตุผลแบบนี้แสดงให้เห็นถึงความขัดแย้งระหว่างสัญชาตญาณในชีวิตประจำวันเกี่ยวกับอนันต์กับ... วิธีการที่เข้มงวดในการจัดการกับความน่าจะเป็นและเซตอนันต์ในคณิตศาสตร์ในทฤษฎีการวัดและความน่าจะเป็น การที่สิ่งใดสิ่งหนึ่งมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ไม่ได้หมายความว่าสิ่งนั้นเป็นไปไม่ได้ เพียงแต่บ่งชี้ว่าภายในขอบเขตที่ไม่มีที่สิ้นสุด "น้ำหนัก" ของสิ่งนั้นมีค่าน้อยมากจนแทบไม่มีนัยสำคัญ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แนวคิดที่ว่า "ความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ = ไม่มีอยู่จริง" นั้นไม่ถูกต้องในทางคณิตศาสตร์

จากจุดนี้จึงเกิดข้อเสนอเชิงปรัชญาอีกประการหนึ่งขึ้นมา นั่นคือ บางทีตัวเลขอาจไม่ได้ "กำหนด" มาให้เท่ากับอนันต์โดยสมบูรณ์ แต่เป็นเพียงส่วนหนึ่งเท่านั้น เราสร้างพวกมันทีละขั้นตอน ก้าวหน้าไปอย่างไม่มีขีดจำกัด แต่ไม่ถึงที่สุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดกล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขอาจมีจำนวนเป็นอนันต์ (เราสามารถบวก 1 ไปเรื่อยๆ ได้) แต่จะไม่มี "ผลรวม" ของตัวเลขทั้งหมดในลักษณะที่เป็นตัวเลขปิด

แนวคิดนี้เชื่อมโยงกับความคิดเรื่องจำนวนธรรมชาติในฐานะวัตถุที่สร้างขึ้นจากการเรียงลำดับ (0 จากนั้นตัวถัดไปของมัน จากนั้นตัวถัดไปของตัวถัดไป และต่อไปเรื่อยๆ) ซึ่งนำเราไปสู่แนวคิดที่มีชื่อเสียง สัจพจน์ของพีอาโน ทฤษฎีเซตเป็นพื้นฐานอย่างเป็นทางการของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

จากไม่มีอะไรไปสู่ศูนย์: เซต พื้นที่ว่าง และจำนวนธรรมชาติ

เพื่อสร้างจำนวนธรรมชาติอย่างแม่นยำ นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 หลายคนอาศัยภาษาทั่วไป: ทฤษฎีเซตแนวคิดนี้ดูเรียบง่าย: เราทำงานกับ "เซต" (กลุ่มของข้อมูล) และ "องค์ประกอบ" (สิ่งที่อยู่ในกลุ่มเหล่านั้น) และกำหนดสัจพจน์พื้นฐานบางประการเกี่ยวกับพฤติกรรมของพวกมัน

หนึ่งในสัจพจน์พื้นฐานคือสัจพจน์ของการขยาย: เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีสมาชิกเหมือนกันทุกประการนอกจากนี้ ข้อกำหนดเฉพาะยังช่วยให้เราสร้างเซตย่อยจากเงื่อนไขได้ กล่าวคือ เมื่อกำหนดเซต A และคุณสมบัติ T แล้ว จะมีเซตของสมาชิกทั้งหมดใน A ที่ตรงตามเงื่อนไข T อยู่

ด้วยเครื่องมือเหล่านี้ เราสามารถกำหนดสิ่งสำคัญบางอย่างได้ นั่นคือ: เซตว่างซึ่งเป็นเซตที่ไม่มีสมาชิกใดๆ สามารถแสดงได้ว่าเป็นเซตของ x ทั้งหมดใน A ที่ x ≠ x (เงื่อนไขที่เป็นไปไม่ได้) ดังนั้นจึงไม่มีใครเข้าไปอยู่ในกลุ่มนี้ได้ เซตนี้มักเรียกว่า 0 และกลายเป็นรากฐานของการสร้างจำนวนธรรมชาติอย่างเป็นทางการ

จากนั้น เราสามารถ "ตั้งชื่อ" ตัวเลขแรกๆ เหล่านั้นเป็นเซตได้ เช่น เซตว่างเรียกว่า 0 เซตที่มีแต่ 0 เรียกว่า 1 เซตที่มีทั้ง 0 และ 1 เรียกว่า 2 เป็นต้น ตัวเลขแต่ละตัวถูกสร้างขึ้นเป็นเซตที่รวบรวม... สำหรับตัวเลขทั้งหมดข้างต้นวิธีการเข้ารหัสจำนวนธรรมชาติแบบนี้ (คล้ายกับข้อเสนอของ Frege และต่อมาของ von Neumann) ทำให้สามารถเชื่อมโยงลำดับ "น้อยกว่า" กับการรวมเซตได้

เพื่อก้าวต่อไป เราจำเป็นต้องใช้สัจพจน์การรวมกัน: เมื่อกำหนดกลุ่มของเซต จะมีเซตหนึ่งที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซตอย่างน้อยหนึ่งเซต และเรายังกำหนดอีกด้วย ผู้สืบทอดของชุด A เนื่องจาก A+ = A ∪ {A} นั่นคือ เราเพิ่มเซตนั้นเองเป็นสมาชิกใหม่ ซึ่งทำให้เราสามารถเพิ่มจำนวนขึ้นไปเรื่อยๆ ได้

นี่เป็นการแนะนำแนวคิดของ ชุดผู้สืบทอดเซต S เป็นเซตผู้สืบทอดก็ต่อเมื่อมันมี 0 และเมื่อใดก็ตามที่มันมีสมาชิก A มันก็จะมีสมาชิกผู้สืบทอด A+ ด้วย สัจพจน์สำคัญระบุว่ามีเซตผู้สืบทอดอย่างน้อยหนึ่งเซต ถ้าเราหาจุดตัดของเซตผู้สืบทอดที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราจะได้เซตที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วยเซตเหล่านั้นทั้งหมด: นี่คือจุดที่เซตผู้สืบทอด "ซ้อนกัน" อยู่ จำนวนธรรมชาติ ℕ.

สัจพจน์ของพีอาโน: การทำให้มั่นใจว่า 1 + 1 = 2 นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเลย

เมื่อเราระบุได้ว่า ℕ คือเซตขั้นต่ำที่ประกอบด้วย 0 และมีความเสถียรตามลำดับแล้ว เราก็สามารถศึกษาคุณสมบัติของมันได้ จูเซปเป เปอาโน ได้กำหนดรายการสัจพจน์ที่กระชับมากในปลายศตวรรษที่ 19 ซึ่งครอบคลุมสิ่งเหล่านี้ สาระสำคัญของพฤติกรรมของจำนวนธรรมชาติ.

ในรูปแบบทั่วไป โดยเริ่มจาก 1 แทนที่จะเป็น 0 สัจพจน์ของพีอาโนระบุไว้โดยคร่าวๆ ดังนี้ ประการแรก 1 เป็นจำนวนธรรมชาติประการที่สอง จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีตัวสืบทอด ซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติเช่นกัน ประการที่สาม ไม่มีจำนวนธรรมชาติใดที่มี 1 เป็นตัวสืบทอด (หรือในอีกรูปแบบหนึ่ง 0 ไม่ใช่ตัวสืบทอดของจำนวนธรรมชาติใดๆ) ประการที่สี่ ถ้าเซตของจำนวนธรรมชาติมี 1 และปิดด้วยลำดับแล้ว เซตนั้นจะประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด นี่คือ... หลักการอุปนัยประการที่ห้า ถ้าจำนวนสองจำนวนมีตัวถัดไปเหมือนกัน จำนวนทั้งสองนั้นจะเท่ากัน

ถึงแม้ว่าสัจพจน์เหล่านี้จะดูเป็นทางการและค่อนข้างน่าเบื่อ แต่ก็ครอบคลุมแนวคิดที่เราใช้โดยไม่รู้ตัวมาตั้งแต่เด็ก ตัวอย่างเช่น การอุปมานช่วยให้เราพิสูจน์คุณสมบัติประเภท "จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนสอดคล้องกับ X" ได้โดยการพิสูจน์ว่า X ใช้ได้กับอันแรก และถ้ามันเป็นจริงสำหรับตัวเลขหนึ่งแล้ว มันก็จะเป็นจริงสำหรับตัวเลขถัดไปเช่นกัน มันเป็นเหมือนปรากฏการณ์โดมิโนเชิงตรรกะ

จากสัจพจน์เหล่านี้ เราสามารถอนุมานคุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนธรรมชาติได้ เช่นว่า ไม่มีจำนวนใดที่มีเลข 0 เป็นเลขต่อท้ายหรือว่าการดำเนินการ "ผู้สืบทอด" เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (ถ้าตัวเลขสองตัวมีผู้สืบทอดเดียวกัน ตัวเลขทั้งสองนั้นก็จะเป็นตัวเลขเดียวกัน) นอกจากนี้ยังทำให้เราสามารถกำหนดลักษณะของ ℕ ว่าเป็นเซตเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการของการสืบทอดและการอุปมานรวมกันได้

สิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือ การเริ่มต้นจากกรอบตรรกะนี้และแนวคิดเรื่องผู้สืบทอด ทำให้เราสามารถสร้างสิ่งต่างๆ ได้อย่างเข้มงวด การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามปกติ: สอนการบวก การคูณ และการยกกำลัง และสาธิตคุณสมบัติพื้นฐานของการบวก การคูณ และการจัดกลุ่ม การมีอยู่ของตัวกลาง ฯลฯ โดยไม่ต้องอ้างว่า "โดยสัญชาตญาณแล้วมันเป็นเช่นนั้น"

วิธีการสร้างผลรวม ผลคูณ และเลขยกกำลังเหนือจำนวนเต็มบวก

เมื่อเรายอมรับสัจพจน์ของ Peano และมีเซต ℕ ที่กำหนดไว้อย่างดีแล้ว เราสามารถถามตัวเองได้ว่า: เราจะกำหนดนิยามของการดำเนินการต่างๆ เช่น การบวก ได้อย่างไร โดยไม่ถือว่าการดำเนินการเหล่านั้นเป็นสิ่งที่เข้าใจได้อยู่แล้ว? สำหรับเรื่องนี้ เราใช้เครื่องมือที่มีประสิทธิภาพมาก: ทฤษฎีบทเวียนเกิดซึ่งรับประกันการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันบางอย่างที่กำหนดทีละขั้นตอนบนจำนวนธรรมชาติ

แนวคิดมีดังนี้: ถ้าเรามีเซต X, สมาชิกเริ่มต้น a ใน X และฟังก์ชัน f: X → X ทฤษฎีบทนี้รับประกันว่าจะมีฟังก์ชัน u: ℕ → X ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น ซึ่งทำให้ u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวน นั่นคือ เราสามารถสร้าง u ได้โดยการใช้ f ซ้ำแล้วซ้ำเล่าโดยเริ่มต้นจาก a และจะไม่มีสองวิธีที่แตกต่างกันในการทำเช่นนั้นที่สอดคล้องกับนิยามนั้น

เมื่อนำแนวคิดนี้ไปใช้กับจำนวนธรรมชาติ เราสามารถกำหนดผลรวมของจำนวนคงที่ m กับ n ใดๆ ได้ เราใช้ X = ℕ, a = m และฟังก์ชัน s: ℕ → ℕ ที่แมปแต่ละ na ไปยังตัวถัดไป n+ จากนั้น ทฤษฎีบทเวียนเกิดจะให้ฟังก์ชัน S_m: ℕ → ℕ โดยที่ S_m(0) = m และ S_m(n+) = s(S_m(n)) เราตีความฟังก์ชันนี้ได้ดังนี้ ผลรวม m + nนั่นคือ เรากำหนด S_m(n) = m + n

ด้วยนิยามที่เป็นทางการนี้ สิ่งธรรมดาๆ อย่าง 1 + 1 จึงกลายเป็นห่วงโซ่การประยุกต์ใช้เล็กๆ: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2ไม่ใช่ว่านักคณิตศาสตร์ไม่รู้ว่า 1 + 1 เท่ากับ 2 แต่พวกเขาต้องการหาเหตุผลว่าทำไมภายในระบบสัจพจน์ ความเท่าเทียมกันนั้นจึงเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้

จากนิยามนี้ เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติต่างๆ ได้ เช่น 0 ทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับการบวก (m + 0 = my, 0 + m = m สำหรับทุก m) และการบวกคือ การสับเปลี่ยน (a + b = b + a) และนั่นก็คือเช่นกัน เชื่อมโยง ((a + b) + c = a + (b + c)) การพิสูจน์ทั้งหมดนี้อาศัยหลักการอุปมานและพฤติกรรมของตัวสืบทอด

ผลิตภัณฑ์ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน เรากำหนดจำนวน m และใช้ฟังก์ชัน P_m: ℕ → ℕ โดยที่ P_m(0) = 0 และ P_m(n+) = S_m(P_m(n)) เราตีความ P_m(n) ดังนี้ ม. × น.ดังนั้น ตัวอย่างเช่น 1 × 2 พัฒนาเป็น P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2 จากนั้น โดยใช้การอุปมานอีกครั้ง คุณสมบัติของมันจึงได้รับการพิสูจน์ ได้แก่ การสลับที่ การจัดกลุ่ม และ 1 เป็นเอกลักษณ์ของผลคูณ

กำลังถูกสร้างขึ้นโดยการก้าวไปอีกขั้นหนึ่ง: เรากำหนด E_m: ℕ → ℕ โดยที่ E_m(0) = 1 และ E_m(n+) = P_m(E_m(n)) และเราเขียน E_m(n) = m^n จากนิยามนี้ เอกลักษณ์ต่างๆ เช่น m^(n + k) = m^n × m^kโดยอาศัยหลักการเหนี่ยวนำและคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ที่ได้แสดงให้เห็นแล้วอีกครั้ง

กระบวนการทั้งหมดนี้ แม้จะเป็นทางการและค่อนข้างซับซ้อนทางเทคนิค แสดงให้เห็นว่าพื้นฐานของเลขคณิตเบื้องต้นไม่ได้ "ลอยอยู่ในอากาศ" แต่ได้รับการสนับสนุนจากสิ่งต่างๆ สัจพจน์ที่ชัดเจนไม่กี่ข้อและข้อโต้แย้งเชิงตรรกะเพียงไม่กี่ข้อจากมุมมองนี้ การ "มีอยู่" ของจำนวนธรรมชาติหมายความว่ามีแบบจำลอง (ตัวอย่างเช่น เซตที่สร้างจากเซตว่าง) ที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านั้น

จากจำนวนธรรมชาติไปจนถึงจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ

เมื่อจำนวนธรรมชาติได้รับการกำหนดอย่างมั่นคงแล้ว เรื่องราวก็ยังไม่จบลงเพียงแค่นั้น ปัญหาในชีวิตประจำวันและปัญหาทางวิทยาศาสตร์ต่าง ๆ ผลักดันให้เราต้องหาคำตอบ ขยายจักรวาลเชิงตัวเลขนี้ตัวอย่างเช่น ในกรณีของจำนวนธรรมชาติ เราทราบเพียงวิธีการนับและการบวก แต่ไม่รู้วิธีการลบหรือการหารโดยทั่วไป

ขั้นตอนต่อไปมักจะเป็นการแนะนำ ตัวเลข enterosซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติและจำนวนลบของพวกมัน ได้แก่ …, -2, -1, 0, 1, 2, … ในทางประวัติศาสตร์ เศษส่วนมาก่อนจำนวนลบ แต่จากมุมมองเชิงรูปแบบแล้ว การเริ่มต้นด้วยจำนวนเต็มนั้นสะดวกกว่า จำนวนเต็มสามารถนิยามได้ว่าเป็นชั้นสมมูลของคู่จำนวนธรรมชาติ (a, b) โดยที่เราพิจารณาว่าคู่ (a, b) และ (c, d) สมมูลกันก็ต่อเมื่อ a + d = b + c โดยสัญชาตญาณแล้ว นี่สอดคล้องกับการคิดถึง "ลบ" ออกจาก − bแม้ว่าในทางทฤษฎีแล้วการลบนั้นยังไม่มีอยู่ใน ℕ ก็ตาม

จากนั้นก็ สรุปตัวเลขสิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับเศษส่วนที่เราคุ้นเคยกันดีอยู่แล้ว ใช้ในการวัดปริมาณที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เช่น เค้กครึ่งก้อน หนึ่งในสามของลิตร หรือสามในสี่ของชั่วโมง จำนวนตรรกยะมักแสดงด้วย a/b โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มและ b ≠ 0 ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนถูกนิยามว่าเป็นกลุ่มสมมูลของคู่ (a, b) โดยที่ b ไม่เท่ากับศูนย์ โดยที่คู่ (a, b) และ (c, d) จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อ √(a, b) = 0 a·d = b·cนั่นคือ ถ้าพวกมันแสดงถึงสัดส่วนที่เท่ากัน

ชาวพีทาโกเรียนเชื่อว่า "ทุกสิ่งคือตัวเลข" ในความหมายว่า "ทุกสิ่งคือจำนวนตรรกยะ" แต่ทัศนะนี้ก็พังทลายลงเมื่อมีการค้นพบว่า เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 1 (รากที่สองของ 2) ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ ต่อมาก็มีการแสดงให้เห็นอีกว่า π และ e เป็นจำนวนอตรรกยะกล่าวคือ ไม่สามารถแสดงค่าเหล่านั้นในรูป a/b โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มได้

เพื่อสร้างอย่างเข้มงวด จำนวนอตรรกยะ มันค่อนข้างละเอียดอ่อนกว่านั้น วิธีที่สง่างามกว่าคือการโทรศัพท์ เดเดคินด์ตัดแนวคิดคือการพิจารณาเซตย่อยบางส่วนของจำนวนตรรกยะที่มีขอบเขตบนที่เฉพาะเจาะจง ตัวอย่างเช่น เราสามารถใช้เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดที่มีกำลังสองน้อยกว่า 2 ซึ่ง "ส่วนตัด" ตามธรรมชาติของเซตนี้คือ √2 ซึ่งไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ด้วยวิธีนี้ ส่วนตัดที่เหมาะสมแต่ละส่วนสามารถมองได้ว่าเป็นจำนวนจริง และส่วนตัดบางส่วนเหล่านี้ไม่สอดคล้องกับจำนวนตรรกยะ

โดยการรวมจำนวนตรรกยะทั้งหมดและส่วนตัดทั้งหมดที่ก่อให้เกิดจำนวนอตรรกยะ เราจึงสร้างเซตของ จำนวนจริง ℝในจำนวนจริง ℝ นั้นมีตัวเลขทั้งหมดที่เราใช้ในการวัดขนาดต่อเนื่อง เช่น ความยาว พื้นที่ เวลา ความเร็ว เป็นต้น ภายในจำนวนจริงนั้นยังคง "ฝัง" อยู่กับจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะ ซึ่งแต่ละจำนวนก็มีความหมายเฉพาะของตนเอง

พาชมประวัติศาสตร์ของระบบตัวเลขอย่างรวดเร็ว

คำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของตัวเลขนั้นไม่ใช่เพียงแค่เรื่องนามธรรมเท่านั้น แต่ยังสะท้อนให้เห็นในประวัติศาสตร์ของวิธีการที่วัฒนธรรมต่างๆ เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวเลขอีกด้วย การนับและการเขียนปริมาณหลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดเกี่ยวกับการนับเลขนั้นย้อนกลับไปได้ราว 7000 ปีก่อนคริสตกาล โดยมีการใช้รอยและกระดูกเพื่อบันทึกการนับอย่างง่าย ๆ

ในอียิปต์โบราณ สมัยราชวงศ์แรก ได้มีการพัฒนาระบบตัวเลขฐานสิบแบบอักษรภาพขึ้น โดยแต่ละกำลังของสิบจะมีสัญลักษณ์เฉพาะของตนเอง พวกเขาจัดกลุ่มองค์ประกอบเหล่านั้นเป็นกลุ่มละสิบมันถูกใช้สำหรับงานปฏิบัติ เช่น การคำนวณภาษี การวัดพื้นที่เพาะปลูก หรือการสร้างวัด

ในเมโสโปเตเมีย ชาวสุเมเรียนและต่อมาชาวบาบิโลนใช้ระบบตัวเลขฐานหกสิบ นั่นคือ ฐาน 60ความซับซ้อนของมันอยู่ที่จำนวนสัญลักษณ์และชุดค่าผสมที่เป็นไปได้จำนวนมาก แต่ก็พิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพอย่างยิ่งสำหรับดาราศาสตร์และการบอกเวลา อันที่จริง เรายังคงใช้ประโยชน์จากมรดกนั้นมาจนถึงทุกวันนี้ในหน่วยชั่วโมง นาที และวินาที

ชาวกรีกใช้ระบบฐานสิบของอียิปต์เป็นแบบอ้างอิง และพัฒนาระบบที่พวกเขาใช้ ตัวอักษรในอักษรของพวกเขาใช้แทนตัวเลขอย่างไรก็ตาม ระบบคณิตศาสตร์ของชาวเอเธนส์นั้นค่อนข้างแข็งกระด้างและจำกัดการพัฒนาคณิตศาสตร์ขั้นสูงอยู่บ้าง แม้ว่าชาวกรีกจะโดดเด่นอย่างมากในด้านเรขาคณิตและการพิสูจน์เชิงตรรกะก็ตาม

ระบบตัวเลขโรมันที่เราคุ้นเคยมากกว่า กำหนดค่าตัวเลขให้กับตัวอักษรบางตัว (I, V, X, L, C, D, M) แม้ว่าจะมีลักษณะเรียบง่ายกว่าระบบอื่นๆ ก็ตาม มันไม่ใช่เรื่องของตำแหน่งวิธีนี้ทำให้การคำนวณที่ซับซ้อนยุ่งยากมาก เหมาะสำหรับการระบุวันที่สองสามวันบนผนังอาคาร แต่ไม่เหมาะสำหรับการคำนวณทางพีชคณิต

ในขณะเดียวกัน ระบบเลขฐานสิบและเลขตำแหน่งก็เกิดขึ้นในอินเดียราวศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช ในระบบนี้ ค่าของแต่ละหลักขึ้นอยู่กับตำแหน่ง และสิบหน่วยในลำดับหนึ่งจะเท่ากับหนึ่งหน่วยในลำดับที่สูงกว่า ระบบนี้ซึ่งรวมเอา... เข้าไว้ด้วยอย่างชัดเจน ศูนย์ในฐานะตัวเลขมันพิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพและใช้งานได้จริงอย่างเหลือเชื่อ

ชาวอาหรับซึ่งติดต่อกับวัฒนธรรมต่างๆ เช่น ฮินดู กรีก และอียิปต์ ได้รับเอาและเผยแพร่ระบบตัวเลขฐานสิบนี้ แม้ว่าเราจะพูดว่า "ตัวเลขอาหรับ" แต่ในความเป็นจริงแล้ว ต้นกำเนิดของมันอยู่ในอินเดียชาวอิสลามเป็นผู้ถ่ายทอดระบบตัวเลขนี้ไปยังยุโรป โดยผ่านทางแคว้นอัลอันดาลุสและที่อื่นๆ เมื่อเวลาผ่านไป ระบบตัวเลขนี้ได้เข้ามาแทนที่ตัวเลขโรมันและกลายเป็นมาตรฐานสากล

ในทวีปอเมริกาสมัยก่อนโคลัมบัส อารยธรรมมายาได้พัฒนาระบบตัวเลขที่ก้าวหน้าอย่างมาก โดยใช้ฐาน 20 และระบบตำแหน่ง นอกจากนี้ พวกเขายังยอมรับเลขศูนย์อย่างชัดเจน พวกเขาแทนตัวเลขโดยการรวมกัน จุดและแท่ง: จุดแทนหน่วย และขีดแทนการจัดกลุ่มเป็นห้า ความสามารถในการใช้ปฏิทินและดาราศาสตร์ของเขานั้นแม่นยำอย่างน่าทึ่ง

ภาพรวมทางประวัติศาสตร์ทั้งหมดนี้ตอกย้ำแนวคิดที่ว่า แม้รูปแบบและกฎเกณฑ์จะเปลี่ยนแปลงไปก็ตาม ความต้องการที่จะนับ วัด และจัดระเบียบโลกนั้นเป็นสิ่งที่พบได้ทั่วไปในโลกตัวเลขในรูปแบบต่างๆ ดูเหมือนจะปรากฏขึ้นครั้งแล้วครั้งเล่าในทุกที่ที่มีอารยธรรมที่ต้องการจัดระเบียบประสบการณ์ของตนที่มีต่อสิ่งแวดล้อม

ข้อจำกัดของระบบ: เกอเดลและศรัทธาในคณิตศาสตร์

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามที่จะเปลี่ยนคณิตศาสตร์ให้เป็น... อาคารที่แข็งแกร่งสมบูรณ์ ปราศจากข้อขัดแย้งใดๆแนวคิดคือการค้นหาชุดของสัจพจน์พื้นฐานที่มีจำนวนจำกัด ซึ่งสามารถนำไปใช้ในการอนุมานผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ทั้งหมดได้โดยใช้ตรรกะล้วนๆ

บุคคลอย่างอองรี ปวงกาเร ต่างมองด้วยความสงสัยและเห็นว่าความทะเยอทะยานนี้เป็นไปไม่ได้ ในขณะที่คนอื่นๆ นำโดย เดวิด ฮิลเบิร์ตพวกเขามั่นใจว่าระบบสัจพจน์ที่สมบูรณ์แบบสามารถสร้างขึ้นได้สำหรับเลขคณิต และโดยนัยเดียวกันนี้ จะใช้ได้กับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ด้วย

จากนั้น เคิร์ท เกอเดล ก็ปรากฏตัวขึ้นและพิสูจน์ทฤษฎีบทสองข้อที่เปลี่ยนแปลงภูมิทัศน์ไปตลอดกาล ข้อแรกกล่าวอย่างง่ายๆ ว่า ในระบบใดๆ ที่มีประสิทธิภาพมากพอที่จะรวมการคำนวณเลขคณิตพื้นฐาน (ตัวอย่างเช่น...) สัจพจน์ของพีอาโน(กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ คณิตศาสตร์ไม่สามารถสมบูรณ์และสอดคล้องกันได้ในเวลาเดียวกัน)

ทฤษฎีบทที่สองของเกอเดลนั้นน่ากังวลยิ่งกว่า: มันแสดงให้เห็นว่าหากระบบสัจพจน์เช่นระบบเลขคณิตมีความสอดคล้อง (ไม่มีข้อขัดแย้ง) แล้ว ความสอดคล้องดังกล่าวไม่สามารถพิสูจน์ได้จากภายในระบบเองหากมีใครพิสูจน์ได้ว่าไม่มีข้อขัดแย้งในวิชาเลขคณิตโดยใช้เพียงสัจพจน์และกฎเกณฑ์ของมัน นั่นหมายความว่า ระบบนั้นจะไม่สอดคล้องกันอย่างน่าประหลาดใจ

ข้อสรุปเหล่านี้บางครั้งถูกตีความว่าเป็นเหมือน "เรื่องตลกแห่งจักรวาล": หากเราพึ่งพาคณิตศาสตร์อย่างมากในฐานะเครื่องมือขั้นสูงสุดสำหรับความรู้ เราก็ต้องยอมรับว่า ในแง่หนึ่งแล้ว เราต้องเชื่อในสิ่งที่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้จากภายในกรอบทางคณิตศาสตร์เองด้วยเช่นกันการ "ดำรงอยู่" ของระบบเลขคณิตที่สมเหตุสมผลโดยปราศจากข้อขัดแย้งนั้น จำเป็นต้องอาศัยความเชื่อมั่นอย่างน้อยที่สุด

เมื่อเรารวบรวมการเดินทางทั้งหมดนี้เข้าด้วยกัน—ตั้งแต่สัญลักษณ์และกระดูกอิชางโก ผ่านอียิปต์ บาบิโลน อินเดีย และมายา ไปจนถึงทฤษฎีเซต สัจพจน์ของพีอาโน โครงสร้างเชิงรูปธรรมของจำนวนประเภทต่างๆ และทฤษฎีบทของเกอเดล—สิ่งที่เราเห็นก็คือ จำนวนนั้น ในขณะเดียวกันก็... เครื่องมือของมนุษย์และโครงสร้างที่แข็งแรงอย่างน่าประหลาดใจเราอาจถกเถียงกันได้ว่าสิ่งเหล่านี้ "มีอยู่จริง" ในฐานะสิ่งที่เป็นนามธรรมหรือในฐานะแบบแผนที่ซับซ้อน แต่เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งเหล่านี้หล่อหลอมความเข้าใจของเราเกี่ยวกับจักรวาล และในบางแง่ก็อยู่เหนือตัวเรา: แม้ว่าเราจะหายไป ก็ยากที่จะจินตนาการถึงจักรวาลที่ 1 + 1 จะไม่เท่ากับ 2 อีกต่อไป